譯者序/1
前言/5

第一章實變量/1
（1）有理數1
（2）通過線上的點來代表有理數2
（3）無理數3
（4）無理數（續(xù)）6
（5）無理數（再續(xù)）7
（6）無理數（三續(xù)）9
（7）無理數（四續(xù)）10
（8）實數11
（9）實數之間的大小比較12
（10）實數的代數運算14
（11）實數的代數運算（續(xù)）15
（12）的研究16
（13）二次方根17
（14）關于二次方根的一些定理18
（15）連續(xù)統21
（16）連續(xù)實變量23
（17）實數的分割23
（18）極限點25
（19）魏爾施特拉斯定理26
例題集27

第二章實變量函數/37
（20）函數的定義37
（21）函數的圖形表示法40
（22）極坐標41
（23）更多的函數以及圖形表示的例子42
（24）B.有理函數44
（25）有理函數（續(xù)）46
（26）C.顯式代數函數47
（27）D.隱式代數函數48
（28）超越函數50
（29）F.其他種類的超越函數53
（30）包含著單一未知數的方程圖像解法56
（31）二元函數以及它們的圖像表示法57
（32）平面曲線58
（33）空間中的軌跡60
例題集63

第三章復數/69
（34）直線與平面上的位移69
（35）位移的相同性、位移的數乘法70
（36）位移的加法71
（37）位移的乘法74
（38）位移的乘法（續(xù)）75
（39）復數76
（40）復數（續(xù)）78
（41）方程i²=-179
（42）與i相乘的幾何解釋79
（43）方程z² 1=0，az² 2bz c=080
（44）阿爾干（Argand）圖82
（45）棣莫弗定理83
（46）幾個關于復數的有理函數定理85
（47）復數的根97
（48）方程zⁿ=a的解98
（49）棣莫弗定理的一般形式101
例題集101

第四章正整數變量對應函數的極限/109
（50）正整數變量的函數109
（51）函數插值110
（52）有限集和無限集111
（53）對于大數值n的函數性質112
（54）對于大數值n的函數性質（續(xù)）113
（55）n趨向于無窮的表述114
（56）當n趨向于無窮時n的函數表現115
（57）當n趨向于無窮時n的函數表現（續(xù)）117
（58）極限的定義117
（59）極限的定義（續(xù)）119
（60）極限的定義（再續(xù)）119
（61）關于定義的幾個基礎要點120
（62）振蕩函數123
（63）關于極限的一些定理127
（64）定理1的附屬結果128
（65）B.兩個增減趨勢已知的函數乘積的增減趨勢129
（66）C.兩個增減趨勢已知的函數的差或商的增減趨勢131
（67）定理5132
（68）定理5（續(xù)）133
（69）以n為變量且與n一起遞增的函數134
（70）對定理的說明137
（71）魏爾施特拉斯定理的另一種證明137
（72）當n趨向于時xn隨著n變化的極限138
（73）的極限142
（74）一些代數引理143
（75）的極限145
（76）無窮級數146
（77）關于無窮級數的一般定理147
（78）無窮幾何級數149
（79）用極限方法來表示連續(xù)實變量154
（80）有界集合的邊界157
（81）一個有邊界函數的邊界158
（82）一個有邊界函數的不確定的極限158
（83）有邊界函數的一般收斂性原則161
（84）無邊界函數162
（85）復數函數的極限及復數項的級數163
（86）定理的延伸164
（87）當n時，zⁿ的極限（z是復數）166
（88）當z是復數時的幾何級數1 z z² …166
（89）符號O，o，~168
例題集169

第五章一個連續(xù)變量的函數極限、連續(xù)函數與不連續(xù)函數/179
（90）當x趨向于時的極限179
（91）當x趨向于-時的極限181
（92）第四章第6369課時的結論對應的定理182
（93）當x趨向于0時的極限182
（94）當x趨向于a時的極限184
（95）遞增或遞減函數185
（96）不定元的極限以及收斂原則185
（97）不定元的極限以及收斂原則（續(xù)）187
（98）符號O，o，~：大、小的級別對比192
（99）一個實變量的連續(xù)函數193
（100）一個實變量的連續(xù)函數（續(xù)）195
（101）連續(xù)函數的基本性質199
（102）連續(xù)函數的其余性質201
（103）連續(xù)函數的取值范圍202
（104）函數在區(qū)間內的振蕩204
（105）第103課時定理2的另一種證明205
（106）直線上的區(qū)間集，海恩-博萊爾（Heine-Borel）定理206
（107）連續(xù)函數的振幅209
（108）多元的連續(xù)函數211
（109）隱函數212
（110）反函數214
例題集216

第六章導數與積分/221
（111）導數或微分系數221
（112）一些一般性的注解223
（113）一些一般性的注解（續(xù)）226
（114）微分法的一些一般法則227
（115）復函數的導數230
（116）微分學的記號230
（117）標準形式232
（118）B.有理函數235
（119）C.代數函數236
（120）D.超越函數238
（121）高階導數241
（122）關于導函數的一些一般性定理245
（123）最大值與最小值247
（124）最大值與最小值（續(xù)）249
（125）最大值與最小值（再續(xù)）249
（126）中值定理257
（127）中值定理（續(xù)）259
（128）柯西中值定理259
（129）達（Darboux）定理260
（130）積分261
（131）實際的積分問題262
（132）多項式264
（133）有理函數265
（134）有理函數的實際積分268
（135）代數函數269
（136）換元積分法和有理化積分法269
（137）由圓錐曲線相連的積分270
（138）積分271
（139）積分272
（140）積分273
（141）分部積分法273
（142）一般的積分，其中y²=ax² 2bx c276
（143）超越函數280
（144）以x的倍數的正弦與余弦為變量的多項式280
（145）積分，及相關的積分281
（146）cosx和sinx的有理函數281
（147）包含arcsinx，arctanx和logx的積分283
（148）平面曲線的面積284
（149）平面曲線的長度285
例題集290

第七章微分和積分的其他定理/303
（150）更高階的中值定理303
（151）泰勒定理的另一種形式308
（152）泰勒級數310
（153）泰勒定理的應用A.求最值312
（154）B.某些極限的計算312
（155）C.平面曲線的相切315
（156）多變量函數的導數320
（157）雙變量函數微分法322
（158）雙變量函數微分法（續(xù)）325
（159）雙變量函數的中值定理326
（160）微分328
（161）定積分和面積計算332
（162）定積分335
（163）圓的扇形面積，三角函數336
（164）從定積分作為和的極限來計算定積分340
（165）定積分的一般性質341
（166）分部積分法和換元積分法345
（167）利用分部積分法證明泰勒定理348
（168）余項的柯西形式在二項式中的應用349
（169）定積分的近似公式，辛普森公式350
（170）實變量復數函數的積分352
例題集353

第八章無窮級數與無窮積分的收斂/365
（171）前言365
（172）正項級數365
（173）正項級數（續(xù)）366
（174）這些判別的第一批應用366
（175）比值判別法367
（176）德里赫特判別法371
（177）正項級數的乘法371
（178）對于收斂與發(fā)散的額外判別法373
（179）阿貝爾（或普林斯姆）定理374
（180）麥克勞林（或柯西）積分判別法376
（181）級數377
（182）柯西并項判別法379
（183）進一步的比值判別法380
（184）無窮積分381
（185）取值為正的情形383
（186）替換積分法和分部積分法對無限積分的應用386
（187）其他類型的無窮積分389
（188）其他類型的無窮積分（續(xù)）391
（189）其他類型的無窮積分（再續(xù)）395
（190）正負項的級數397
（191）絕對收斂級數398
（192）德里赫特（Dirichlet）定理延伸到絕對收斂級數400
（193）條件性收斂級數400
（194）條件性收斂級數的收斂判別法401
（195）交錯級數402
（196）阿貝爾收斂判別法和德里赫特收斂判別法405
（197）復數項的級數408
（198）冪級數409
（199）冪級數（續(xù)）410
（200）冪級數的收斂域、收斂圈410
（201）冪級數的唯一性413
（202）級數的乘法413
（203）絕對收斂無限積分和條件收斂無限積分415
例題集417

第九章實變量的對數、指數及三角函數/427

（204）引言427
（205）logx的定義428
（206）logx滿足的函數等式429
（207）logx隨著x趨向于無窮時的情況431
（208）當x時x^-logx0的證明431
（209）當x 0時logx的性狀432
（210）無窮的尺度，對數的尺度432
（211）數字e435
（212）指數函數436
（213）指數函數的一般性質437
（214）一般冪函數a^x439
（215）e^x作為極限的表示法440
（216）logx作為極限的表示法441
（217）常用的對數442
（218）級數和積分收斂的對數判別法449
（219）與指數函數、對數函數有關的級數，用泰勒定理展開ex454
（220）對數級數457
（221）反正切函數級數459
（222）二項級數462
（223）建立指數函數與對數函數理論的另一種方法464
（224）三角函數的分析理論466
（225）三角函數的解析理論（續(xù)）469
（226）三角函數的解析理論（再續(xù)）471
例題集472

第十章對數函數、指數函數和三角函數的一般理論/483
（227）單復變量的函數483
（228）單復變量的函數（續(xù)）484
（229）實數和復數曲線積分484
（230）的定義485
（231）Log的值486
（232）指數函數491
（233）exp的值492
（234）exp滿足的函數方程492
（235）一般的冪a493
（236）a的一般值494
（237）正弦和余弦的指數值498
（238）對于所有的，sin和cos的定義498
（239）推廣的雙曲線函數499
（240）與，等有關的公式500
（241）對數函數與反三角函數之間的聯系503
（242）expz的冪級數505
（243）cosz和sinz的冪級數507
（244）對數級數509
（245）對數級數（續(xù)）510
（246）對數級數的一些應用，指數極限513
（247）二項式定理的一般形式514
例題集517


附錄1Hlder不等式和Minkowski不等式/527
附錄2每一個方程都有一個根的證明/533
附錄3雙極限問題的注記/540
附錄4分析和幾何中的無窮/543