CAD工業(yè)軟件是現(xiàn)代工程產(chǎn)品研發(fā)的重要工具，廣泛應(yīng)用于航空、航天、船舶、汽車、電子等領(lǐng)域產(chǎn)品的研發(fā)設(shè)計(jì)過程中。本書將基礎(chǔ)理論和算法實(shí)現(xiàn)相結(jié)合，系統(tǒng)地介紹CAD工業(yè)軟件中涉及的關(guān)鍵幾何理論與算法，包括貝齊爾曲線和曲面、B樣條曲線和曲面、有理B樣條曲線和曲面以及T樣條曲面等相關(guān)知識(shí)。同時(shí)介紹在逆向工程中有重要應(yīng)用的點(diǎn)的投影與擬合算法、自由型曲面三維造型中的多類高級造型方法和面向CAD/CAE一體化的等幾何分析方法及其應(yīng)用。全書共9章，分別介紹微分幾何基礎(chǔ)、參數(shù)曲線和曲面、貝齊爾曲線和曲面、B樣條曲線和曲面、有理B樣條曲線和曲面、T樣條曲面、點(diǎn)的投影與擬合、NURBS曲面造型方法、等幾何分析及應(yīng)用等知識(shí)。本書主要面向廣大從事CAX工業(yè)軟件開發(fā)、計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)、飛行器設(shè)計(jì)與制造、機(jī)械設(shè)計(jì)制造及自動(dòng)化等領(lǐng)域研究工作的專業(yè)人員，從事高等教育的專任教師，高等學(xué)校的在讀高年級本科生、碩博士研究生及相關(guān)領(lǐng)域的廣大科研人員。

（1）系統(tǒng)性強(qiáng)，內(nèi)容全面。本書覆蓋了計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)基礎(chǔ)理論的核心內(nèi)容，從基礎(chǔ)概念、理論性質(zhì)、關(guān)鍵算法、重要應(yīng)用等方面構(gòu)建了較為完整的知識(shí)體系。（2）循序漸進(jìn)，層次分明。本書按照理論技術(shù)的發(fā)展脈絡(luò)，在簡要介紹微分幾何和參數(shù)曲線曲面相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)介紹工程實(shí)際中有廣泛應(yīng)用的貝齊爾、B樣條、NURBS和T樣條相關(guān)理論和方法。（3）與時(shí)俱進(jìn)，緊跟前沿。本書結(jié)合的研究成果和學(xué)科動(dòng)態(tài)，在傳統(tǒng)理論知識(shí)的基礎(chǔ)上，融入了前沿領(lǐng)域的相關(guān)知識(shí)，包括T樣條曲面造型和等幾何分析等，使讀者能夠了解學(xué)科前沿，拓寬學(xué)術(shù)視野。（4）通俗易懂，圖文并茂。本書寫作簡潔明了，為理論公式和核心算法配備了大量圖例，幫助讀者理解相關(guān)方法的具體實(shí)現(xiàn)。同時(shí)，為重要知識(shí)點(diǎn)配置了教學(xué)示例，使讀者能夠易于理解和接受。

前言��

工

業(yè)軟件的發(fā)展構(gòu)筑了當(dāng)今產(chǎn)業(yè)體系的靈魂，在推動(dòng)我國制造業(yè)轉(zhuǎn)型升級、提升產(chǎn)業(yè)水平和促進(jìn)經(jīng)濟(jì)增長等方面具有重要意義，高端工業(yè)軟件是實(shí)現(xiàn)我國從制造大國走向制造強(qiáng)國目標(biāo)的重器之一。研發(fā)設(shè)計(jì)類軟件是工業(yè)軟件的關(guān)鍵，以計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)（CAD）、計(jì)算機(jī)輔助工程（CAE）和計(jì)算機(jī)輔助制造（CAM）等為代表，廣泛應(yīng)用于航空、航天、船舶、機(jī)械、電子等各行各業(yè)，是裝備研發(fā)不可或缺的一環(huán)。在2021年5月的兩院院士大會(huì)上，習(xí)近平總書記發(fā)表重要講話，強(qiáng)調(diào)了發(fā)展國產(chǎn)自主工業(yè)軟件的緊迫性，他指出，要從國家急迫需要和長遠(yuǎn)需求出發(fā)，在工業(yè)軟件等方面的關(guān)鍵核心技術(shù)上全力攻堅(jiān)。計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)技術(shù)作為CAD軟件的核心理論基礎(chǔ)，通過研究曲線、曲面和形體的數(shù)學(xué)表示方法及其性質(zhì)，為復(fù)雜工程產(chǎn)品的創(chuàng)建、修改和分析提供基礎(chǔ)工具。

本書主要內(nèi)容

本書可視為一本基礎(chǔ)理論、算法實(shí)現(xiàn)和應(yīng)用相結(jié)合的書籍，注重基礎(chǔ)理論的推導(dǎo)與詳解，適合具備一定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和編程開發(fā)經(jīng)驗(yàn)的讀者學(xué)習(xí)。

全書共有9章。

第1章微分幾何基礎(chǔ)，包括矢量與矢函數(shù)、曲線和曲面的表示與基本性質(zhì)。第2章參數(shù)曲線和曲面，包括參數(shù)多項(xiàng)式插值與逼近、參數(shù)樣條曲線、參數(shù)樣條曲面。第3章貝齊爾曲線和曲面，包括貝齊爾曲線的定義和性質(zhì)、貝齊爾曲線的計(jì)算、貝齊爾曲面的定義與計(jì)算。第4章B樣條曲線和曲面，包括B樣條曲線的定義與基礎(chǔ)計(jì)算、B樣條曲線的高效幾何算法、B樣條曲面的定義與計(jì)算。第5章有理B樣條曲線和曲面，包括NURBS曲線的定義和計(jì)算、NURBS曲面的定義和計(jì)算、圓錐曲線的NURBS構(gòu)造。第6章T樣條曲面，包括T樣條曲面基礎(chǔ)、局部細(xì)分與簡化、適分析的T樣條曲面、非結(jié)構(gòu)化T樣條曲面、T樣條技術(shù)的應(yīng)用。第7章點(diǎn)的投影與擬合，包括點(diǎn)到曲線和曲面的投影，曲線和曲面插值、曲線和曲面逼近。第8章NURBS曲面造型方法，包括直紋面造型、拉伸曲面造型、旋轉(zhuǎn)曲面造型、蒙皮曲面造型、掃掠曲面造型、覆蓋曲面造型、曲線和曲面偏置造型。第9章等幾何分析及應(yīng)用，包括等幾何分析的基本方法、二維和三維線彈性結(jié)構(gòu)等幾何分析、殼結(jié)構(gòu)等幾何分析。
本書特色

（1）系統(tǒng)性強(qiáng)，內(nèi)容全面。

本書覆蓋了計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)基礎(chǔ)理論的核心內(nèi)容，從基礎(chǔ)概念、理論性質(zhì)、關(guān)鍵算法、重要應(yīng)用等方面構(gòu)建了較為完整的知識(shí)體系。

（2）循序漸進(jìn)，層次分明。

本書按照理論技術(shù)的發(fā)展脈絡(luò)，在簡要介紹微分幾何和參數(shù)曲線和曲面相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)介紹工程實(shí)際中有廣泛應(yīng)用的貝齊爾、B樣條、NURBS和T樣條的相關(guān)理論和方法。
（3）與時(shí)俱進(jìn)，緊跟前沿。

本書結(jié)合的研究成果和學(xué)科動(dòng)態(tài)，在傳統(tǒng)理論知識(shí)的基礎(chǔ)上，融入前沿領(lǐng)域的相關(guān)知識(shí)，包括T樣條曲面造型和等幾何分析等，使讀者能夠了解學(xué)科前沿，拓寬學(xué)術(shù)視野。

（4）通俗易懂，圖文并茂。

本書內(nèi)容簡潔明了，為理論公式和核心算法配備了大量圖例，幫助讀者理解相關(guān)方法的具體實(shí)現(xiàn)。同時(shí)，為重要知識(shí)點(diǎn)配置了教學(xué)示例，使讀者能夠易于理解和接受。

配套資源

為便于教與學(xué)，本書配有源代碼、教學(xué)課件、教學(xué)大綱、教學(xué)進(jìn)度表、期末試卷。

（1）獲取源代碼方式： 先刮開本書封底的文泉云盤防盜碼并用手機(jī)版微信App掃描，授權(quán)后再掃描下方二維碼，即可獲取。
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讀者對象

本書主要面向廣大從事CAX工業(yè)軟件開發(fā)、計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)、飛行器設(shè)計(jì)與制造、機(jī)械設(shè)計(jì)制造及自動(dòng)化等領(lǐng)域研究工作的專業(yè)人員，從事高等教育的專任教師，高等學(xué)校的在讀高年級本科生、碩博士研究生及相關(guān)領(lǐng)域的廣大科研人員。

在編寫本書的過程中，編著者參考了諸多相關(guān)資料，在此對相關(guān)資料的作者表示衷心的感謝。同時(shí)，課題組楊佳明、張冉、李佳儀、劉兆云、雷盛、黃朕祺等博士研究生也參與了本書部分算法實(shí)現(xiàn)、圖片制作和文字校對工作。限于個(gè)人水平和時(shí)間倉促，書中難免存在疏漏之處，歡迎廣大讀者批評指正。
編著者2025年4月

趙罡，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，國家萬人計(jì)劃科技創(chuàng)新領(lǐng)軍人才，清華大學(xué)黨委副書記，北京航空航天大學(xué)兼職教授、博士生導(dǎo)師，工信部航空高端裝備智能制造重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室主任，中國圖學(xué)學(xué)會(huì)理事長。先后于1994年、2001年獲得北京航空航天大學(xué)工學(xué)學(xué)士、博士學(xué)位，歷曾北京航空航天大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院院長、校長助理、校黨委副書記等。長期從事數(shù)字化設(shè)計(jì)制造、CAD/CAM工業(yè)軟件、數(shù)字化裝配、智能制造等方向研究工作。承擔(dān)國家及省部級系列科研項(xiàng)目等20余項(xiàng)，包括兩機(jī)重大專項(xiàng)基礎(chǔ)研究項(xiàng)目、863重點(diǎn)項(xiàng)目、民機(jī)預(yù)研項(xiàng)目、國防科工局基礎(chǔ)科研重大項(xiàng)目等重點(diǎn)重大任務(wù)。

目錄
第1章微分幾何基礎(chǔ)

1.1矢量與矢函數(shù)

1.1.1矢量

1.1.2矢函數(shù)

1.2曲線的表示與基本性質(zhì)

1.2.1曲線的矢函數(shù)表達(dá)

1.2.2導(dǎo)矢與弧長參數(shù)化

1.2.3弗朗內(nèi)特標(biāo)架與曲線論基本公式

1.3曲面的表示與基本性質(zhì)

1.3.1曲面參數(shù)表達(dá)、切矢與法矢

1.3.2曲面上的曲線

1.3.3直紋面與可展曲面

1.3.4曲面的曲率性質(zhì)

第2章參數(shù)曲線和曲面

2.1參數(shù)多項(xiàng)式插值與逼近

2.1.1插值與逼近

2.1.2多項(xiàng)式基函數(shù)

2.1.3多項(xiàng)式插值曲線

2.1.4最小二乘逼近

2.1.5曲線數(shù)據(jù)點(diǎn)參數(shù)化

2.2參數(shù)樣條曲線

2.2.1弗格森三次曲線

2.2.2分段參數(shù)三次曲線

2.2.3樣條曲線

2.2.4參數(shù)三次樣條曲線

2.2.5邊界條件

2.3參數(shù)樣條曲面

2.3.1張量積曲面

2.3.2曲面數(shù)據(jù)點(diǎn)參數(shù)化

2.3.3參數(shù)多項(xiàng)式插值曲面

2.3.4弗格森雙三次曲面片

2.3.5弗格森雙三次樣條曲面

2.3.6孔斯雙三次樣條曲面

2.3.7參數(shù)雙三次樣條曲面
CAD工業(yè)軟件中的幾何理論與算法
目錄
第3章貝齊爾曲線和曲面
3.1貝齊爾曲線的定義和性質(zhì)

3.1.1貝齊爾曲線的定義

3.1.2伯恩斯坦基函數(shù)

3.1.3貝齊爾曲線的性質(zhì)

3.2貝齊爾曲線的計(jì)算

3.2.1曲線遞推計(jì)算

3.2.2曲線導(dǎo)矢計(jì)算

3.2.3域變換與曲線分割

3.2.4組合曲線

3.2.5曲線矩陣表達(dá)

3.2.6曲線升階與降階

3.3貝齊爾曲面的定義與計(jì)算

3.3.1張量積貝齊爾曲面

3.3.2曲面點(diǎn)與導(dǎo)矢計(jì)算

3.3.3曲面分割與矩陣表達(dá)

3.3.4曲面升階與降階

第4章B樣條曲線和曲面

4.1B樣條曲線的定義與基礎(chǔ)計(jì)算

4.1.1B樣條曲線與基函數(shù)定義

4.1.2B樣條基函數(shù)的性質(zhì)

4.1.3B樣條曲線的性質(zhì)

4.1.4B樣條曲線點(diǎn)的計(jì)算

4.1.5B樣條曲線導(dǎo)矢計(jì)算

4.1.6B樣條曲線分類

4.1.7節(jié)點(diǎn)矢量的確定
4.2B樣條曲線的高效幾何算法

4.2.1B樣條曲線節(jié)點(diǎn)插入

4.2.2B樣條曲線節(jié)點(diǎn)細(xì)化

4.2.3B樣條曲線節(jié)點(diǎn)消去

4.2.4B樣條曲線升階與降階

4.3B樣條曲面的定義與計(jì)算

4.3.1B樣條曲面與基函數(shù)定義

4.3.2B樣條曲面點(diǎn)與導(dǎo)矢的計(jì)算

4.3.3B樣條曲面的高效幾何算法

第5章有理B樣條曲線和曲面
5.1NURBS曲線的定義和計(jì)算

5.1.1NURBS曲線的三種定義與性質(zhì)

5.1.2NURBS曲線點(diǎn)和導(dǎo)矢計(jì)算

5.1.3權(quán)因子的幾何意義與影響

5.2NURBS曲面的定義和計(jì)算

5.2.1NURBS曲面的定義和性質(zhì)

5.2.2NURBS曲面的點(diǎn)與導(dǎo)矢計(jì)算

5.3圓錐曲線的NURBS構(gòu)造

5.3.1有理二次貝齊爾曲線與圓錐曲線

5.3.2有理二次貝齊爾曲線的參數(shù)化

5.3.3圓弧和整圓的NURBS表達(dá)

第6章T樣條曲面

6.1T樣條曲面基礎(chǔ)

6.1.1參數(shù)域T網(wǎng)格

6.1.2T樣條混合函數(shù)

6.1.3T樣條曲面表達(dá)

6.2局部細(xì)分與簡化

6.2.1混合函數(shù)的細(xì)分

6.2.2T樣條空間及細(xì)分矩陣

6.2.3T樣條曲面的局部細(xì)分

6.2.4T樣條曲面的簡化

6.3適分析的T樣條曲面

6.4非結(jié)構(gòu)化T樣條曲面

6.5T樣條技術(shù)的應(yīng)用

第7章點(diǎn)的投影與擬合

7.1點(diǎn)到曲線和曲面的投影

7.1.1牛頓迭代算法

7.1.2幾何處理算法

7.2曲線和曲面插值

7.2.1給定數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲線插值

7.2.2指定導(dǎo)矢的曲線插值

7.2.3給定數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲面插值

7.2.4幾何迭代法構(gòu)造插值曲線和曲面

7.3曲線和曲面逼近

7.3.1最小二乘曲線和曲面逼近

7.3.2幾何迭代法構(gòu)造逼近曲線和曲面

第8章NURBS曲面造型方法

8.1直紋面造型

8.2拉伸曲面造型

8.3旋轉(zhuǎn)曲面造型

8.4蒙皮曲面造型

8.5掃掠曲面造型

8.6覆蓋曲面造型

8.7曲線和曲面偏置造型

第9章等幾何分析及應(yīng)用

9.1等幾何分析的基本方法

9.1.1空間與單元概念

9.1.2強(qiáng)形式與弱形式

9.1.3單元映射與數(shù)值積分

9.2二維和三維線彈性結(jié)構(gòu)等幾何分析
9.2.1線彈性基本公式

9.2.2二維平面單元等幾何計(jì)算

9.2.3三維實(shí)體單元等幾何計(jì)算

9.2.4算例詳解

9.3殼結(jié)構(gòu)等幾何分析

9.3.1Kirchhoff�睱ove殼單元

9.3.2Reissner�睲indlin殼單元

9.3.3算例詳解

參考文獻(xiàn)